与傲雪的一番聊天让陆兮整个下午都神思不属，好不容易捱到放学，鱼幼薇和江采薇邀她一起去校门口的小吃摊吃东西。 陆兮哪里有胃口，正好黄先发拿了一道题过来。 “陆兮，能帮忙看看这道题吗，我们组好几个人都卡住了？” 虽然暂时不想做题，但奥数敢死队的请求还是需要给予协助的，大家都是组中人，向来互相帮助。 所以神情蔫蔫的陆兮振作精神接过草稿纸扫了一眼。 “对于正整数??，如果满足??^2+??+1恒为质数，求满足这一条件的最小??值。” 这个程度的题目？ 陆兮眉头微蹙，不由得抬头看了黄先发和他那些围观的小伙伴们一眼。 他们虽然围过来了，却或是左顾右盼，或是冥思苦想，或是魂游天外，或是抓耳挠腮…… 反正一个个都奇奇怪怪的。 陆兮也只能当他们真的不知道怎么做这道题了，正好婉拒了吃货们的邀请。 “笔来！” 旁边同时递过来6支造型各异花里胡哨的签字笔。 陆兮秉着就近原则，顺手拿了一支最近的，在草稿纸上写下二次多项式5个字。 这种程度的题目，哪里需要什么深思熟虑。 “表达式??^2+??+1是一个关于??的二次多项式。通过计算可以发现，对于任意正整数??，此表达式总是生成奇数。因为??^2+??是偶数，加1后为奇数。” “质数的定义要求它是大于1的整数，并且没有其他因子，除了1和自身。因此，我们需要验证??^2+??+1。” 在这里我们可以用枚举尝试。 我们逐一代入??的值，检查??^2+??+ 1是否为质数： 当??=1时：??^2+??+1=1^2+1+1=3，3是质数 当??=2时：??^2+??+1=2^2+2+1=7，7是质数 当??=3时，??^2+??+1=3^2+3+1=13，13是质数 当??=4时，??^2+??+1=4^2+4+1=21，21不是质数 由此可见，满足条件的最小??是??=1 在这里，我们还可以推广验证，进一步分析是否存在无限多个??使得??^2+??+1恒为质数。对于大多数??，由于??是递增的多项式，因数的增长使其很快会变成非质数，因此满足此条件的??是有限的。 所以，这道题的关键在于观察??^2+??+1的性质和逐步代入验证。 “我这样说，大家应该可以理解。” 黄先发和他的小伙伴们忙不迭点头。 “理解，理解。” 不过就在他们准备作鸟兽散的时候，忽然听到已经要走的陆兮忽然来了一句。 “对于这道基础代入解题，你们还有什么想法吗？” 不是已经得出最小??值=1了吗？ 还能有什么想法？ 那个想法，他正经吗？ 黄先发和他的小伙伴们面面相觑。 然后就看到陆兮又走了回来，拿过已经交还他们手上的笔和草稿纸。 “我刚刚想到，或许我们可以就这道题做一些延伸讨论。” 这道题有什么值得延伸讨论的地方吗？ 黄先发和他的小伙伴们同时地铁老人问号脸。 陆兮过去是喜欢做题的，她的做题甚至已经进一步到了刷题的程度。 但在与傲雪的一番聊天之后，她总觉得学数学是要刷题的，但不应该止步于刷题。 人也不是刷题机器。 那么，不想沦为刷题机器，应该怎么做呢？ 这是她这个下午在课堂上魂不守舍，思考了一个下午的问题。 带着这个疑问，在解答这道简单的基础代入解题时，她的脑子转得特别快，只是一会儿就想了很多很多。 所以此时此刻，她的脑海中生出了很多很多想法，有种一吐而后快的强烈倾诉欲。 看到黄先发和他的小伙伴胡文亮他们竖起耳朵，一副已经做好洗耳恭听的模样，陆兮不假思索说道：“表达式??^2+??+ 1是一个关于??的二次递推式，而质数生成的多项式一直是数论中的重要问题。” “举个例子？”胡文亮觉得自己还是上道一些比较好。 陆兮于是顺口说道：“比如比较有名的欧拉的质数生成多项式：??^2+??+41，在??=0到39的范围内会生成质数。” “事实上，对于??^2+??+1，它本质上是一个循环递推的形式，其特殊性质在于它与三次单位根的关系，比如，??^3?1=0的分解因式之一??^2+??+1的离散形式。” “也就是说，它与三次单位根在复数域中的几何意义有关。” “然后呢，有什么意义？”胡文亮皱着眉头问。 陆兮略一沉吟：“这种形式在有限域比如模??的整数环中有独特的行为，或许可以用来研究质数分布模式。”